Vladimir I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kartoniert / Broschiert

Content

1. Grundbegriffe.-
1. Phasenräume.- 1. Beispiele für Evolutionsprozesse.- 2. Phasenflüsse.- 3. Intergralkurven im Richtungsfeld.- 4. Eine Differentialgleichung und ihre Lösungen.- 5. Die Evolutionsgleichung mit eindimensionalem Phasenraum.- 6. Beispiel: Die Gleichung der normalen Vermehrung.- 7. Beispiel: Die Explosionsgleichung.- 8. Beispiel: Die logistische Kurve.- 9. Beispiel: Fangquoten.- 10. Beispiel: Der Fang mit relativer Quote.- 11. Gleichungen mit mehrdimensionalem Phasenraum.- 12. Beispiel: Die Differentialgleichung eines Räuber-Beute Systems.- 13. Beispiel: Ein freies Teilchen auf der Geraden.- 14. Beispiel: Der freie Fall.- 15. Beispiel: Kleine Schwingungen.- 16. Beispiel: Das mathematische Pendel.- 17. Beispiel: Das umgedrehte Pendel.- 18. Beispiel: Kleine Schwingungen des sphärischen Pendels.-
2. Vektorfelder auf der Geraden.- 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.- 2. Ein Gegenbeispiel.- 3. Beweis der Eindeutigkeit.- 4. Direkte Produkte.- 5. Beispiele direkter Produkte.- 6. Gleichungen mit trennbaren Veränderlichen.- 7. Beispiel: Das Volterra-Lotka Modell.-
3. Lineare Gleichungen.- 1. Lineare homogene Gleichungen.- 2. Lineare homogene Gleichungen erster Ordnung mit periodischen Koeffizienten.- 3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 4. Die Greensche Funktion und ?-förmige Inhomogenitäten.- 5. Lineare inhomogene Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.-
4. Phasenflüsse.- 1. Die Operation von Gruppen auf einer Menge.- 2. Einparametrige Transformationsgruppen.- 3. Einparametrige Gruppen von Diffeomorphismen.- 4. Das Vektorfeld der Phasengeschwindigkeit.-
5. Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern und Richtungsfeldern.- 1. Die Operation glatter Abbildungen auf Vektoren.- 2. Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern.- 3. Variablensubstitution in einer Gleichung.- 4. Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Richtungsfeld.- 5. Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Phasenfluß.-
6. Symmetrien.- 1. Symmetriegruppen.- 2. Anwendung einer einparametrigen Symmetriegruppe zur Integration einer Gleichung.- 3. Homogene Gleichungen.- 4. Quasihomogene Gleichungen.- 5. Ähnlichkeits- und Dimensionsbetrachtungen.- 6. Methoden der Integration von Differentialgleichungen.- 2. Grundlegende Sätze.-
7. Rektifizierungssätze.- 1. Rektifizierbare Richtungsfelder.- 2. Existenz- und Eindeutigkeitssätze.- 3. Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit einer Lösung von den Anfangswerten.- 4. Transformationen in der Zeit von t0 bis t.- 5. Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit von einem Parameter.- 6. Fortsetzungssätze.- 7. Rektifizierung eines Vektorfeldes.-
8. Anwendungen auf Gleichungen höherer Ordnung.- 1. Die Äquivalenz einer Gleichung n-ter Ordnung zu einem System von n Gleichungen erster Ordnung.- 2. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 3. Differenzierbarkeits- und Fortsetzungssätze.- 4. Systeme von Gleichungen.- 5. Bemerkungen zur Terminologie.-
9. Phasenkurven eines autonomen Systems.- 1. Autonome Systeme.- 2. Verschiebungen in der Zeit.- 3. Geschlossene Phasenkurven.-
10. Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes und erste Integrale.- 1. Die Ableitung in Richtung eines Vektors.- 2. Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes.- 3. Eigenschaften der Richtungsableitung.- 4. Die Liealgebra der Vektorfelder.- 5. Erste Integrale.- 6. Lokale erste Integrale.- 7. Zeitabhängige erste Integrale.-
11. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Lineare homogene Gleichungen.- 2. Das Cauchyproblem.- 3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 4. Die quasilineare Gleichung.- 5. Die Charakteristiken einer quasilinearen Gleichung.- 6. Integration einer quasilinearen Gleichung.- 7. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 12. Das konservative System mit einem Freiheitsgrad.- 1. Definitionen.- 2. Der Energieerhaltungssatz.- 3. Energieniveaulinien.- 4. Die Energieniveaulinien in

Blurb

nen (die fast unverändert in moderne Lehrbücher der Analysis übernommen wurde) ermöglichten ihm nach seinen eigenen Worten, "in einer halben Vier­ telstunde" die Flächen beliebiger Figuren zu vergleichen. Newton zeigte, daß die Koeffizienten seiner Reihen proportional zu den sukzessiven Ableitungen der Funktion sind, doch ging er darauf nicht weiter ein, da er zu Recht meinte, daß die Rechnungen in der Analysis bequemer auszuführen sind, wenn man nicht mit höheren Ableitungen arbeitet, sondern die ersten Glieder der Reihenentwicklung ausrechnet. Für Newton diente der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der Reihe und den Ableitungen eher dazu, die Ableitungen zu berechnen als die Reihe aufzustellen. Eine von Newtons wichtigsten Leistungen war seine Theorie des Sonnensy­ stems, die in den "Mathematischen Prinzipien der Naturlehre" ("Principia") ohne Verwendung der mathematischen Analysis dargestellt ist. Allgemein wird angenommen, daß Newton das allgemeine Gravitationsgesetz mit Hilfe seiner Analysis entdeckt habe. Tatsächlich hat Newton (1680) lediglich be­ wiesen, daß die Bahnkurven in einem Anziehungsfeld Ellipsen sind, wenn die Anziehungskraft invers proportional zum Abstandsquadrat ist: Auf das Ge­ setz selbst wurde Newton von Hooke (1635-1703) hingewiesen (vgl. § 8) und es scheint, daß es noch von weiteren Forschern vermutet wurde.