Beschreibung

DasGeheimnisder transzendenten Zahlen zu lüften unternimmt der Autor Fridtjof Toenniessen in seinem Buch. Mit anderen Worten: Er erklärt, was es mit der Schwierigkeit der Quadratur des Kreises auf sich hat. Bekanntlich versteht man unter dem Problem der Quadratur des Kreises das schon im Altertum von gr- chischen Mathematikern aufgestellte Problem, aus einem gegebenen Kreis nur unter Zuhilfenahme von Zirkel und Lineal ein Quadrat zu konstruieren, das d- selben Flächeninhalt wie der Kreis hat. Dies war über 2000 Jahre lang ein o?enes Problem, bis Ferdinand Lindemann 1882 die Unmöglichkeit einer solchen K- struktion bewies. Was hat die Quadratur des Kreises mit transzendenten Zahlen zu tun? Die Verb- dung wird hergestellt durch die Kreiszahl?=3, 14159265. . . , welche die Fläche eines Kreises mit Radius 1 darstellt (und gleichzeitig auch den halben Umfang dieses Kreises). Wäre diese Zahl rational, d. h. der Quotient zweier ganzer Zahlen, so wäre es ein leichtes, eine Konstruktion der Quadratur des Kreises durchzuf- ren. Die Zahl? ist aber nicht rational, d. h. irrational. Dies ist schon schwierig genug zu beweisen (siehe Kap. 16 dieses Buches), aber reicht noch nicht aus, die ? Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises zu zeigen. So ist z. B. 2, die Quadr- wurzel aus 2, ebenfalls irrational (was einfach zu beweisen ist), trotzdem lässt sich ? 2 als Länge der Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1 leicht konstruieren.

Inhaltsangabe

1. Vorgeschichte
2. Mengen
3. Die natürlichen Zahlen
4. Die ganzen Zahlen
5. Die rationalen Zahlen
6. Die reellen Zahlen
7. Die komplexen Zahlen I
8. Elemente der linearen Algebra
9. Funktionen und Stetigkeit
10. Die komplexen Zahlen II (Hauptsatz der Algebra)
11. Differenzialrechnung
12. Folgen und Reihen von Funktionen
13. Exponentialfunktion und Logarithmus (Exponentialreihe für komplexe Zahlen, Eulersche Zahl e)
14. Trigonometrische Funktionen und die Kreiszahl p
15. Integralrechnung
16. Differenzial- und Integralrechnung über den komplexen Zahlen Â
17. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal in der komplexen Zahlenebene
18. Die transzendenten Zahlen I (Liouville'sche Zahlen)
19. Die transzendenten Zahlen II (Transzendenz von e)
20. Die transzendenten Zahlen III (Transzendenz von p)

Klappentext

Sie halten eine Mathematik-Einführung in Händen, deren Lektüre keine Vorkenntnisse verlangt.
Zu Beginn werden nur die natürlichen Zahlen 0, 1,2, 3,... vorausgesetzt. Aufbauend darauf beginnt eine Reise durch verschiedene Gebiete dieser spannenden Wissenschaft. Sie führt uns zunächst zur Konstruktion des Zahlensystems. Ziel der Reise sind die großartigen Resultate, mit denen Jahrtausende alte Rätsel aus der Antike gelöst wurden wie zum Beispiel die berühmte Frage nach der Quadratur des Kreises.
Das Buch orientiert sich nicht an Lehrplänen, sondern zeigt, wie Mathematiker wirklich arbeiten. Wie sie mit unerschöpflicher Neugier immer weiter forschen, dabei überraschende Zusammenhänge entdecken und diese lückenlos beweisen.
Es richtet sich an Studienanfänger, an Lehrer, aber auch an interessierte Schüler oder Laien, welche die faszinierenden Querverbindungen verschiedener Gebiete der Mathematik erleben wollen. TOC: 1. Vorgeschichte.- 2. Mengen.- 3. Die natürlichen Zahlen.- 4. Die ganzen Zahlen.- 5. Die rationalen Zahlen.- 6. Die reellen Zahlen.- 7. Die komplexen Zahlen I.- 8. Elemente der linearen Algebra.- 9. Funktionen und Stetigkeit.- 10. Die komplexen Zahlen II (Hauptsatz der Algebra).- 11. Differenzialrechnung.- 12. Folgen und Reihen von Funktionen 13. Exponentialfunktion und Logarithmus (Exponentialreihe für komplexe Zahlen, Eulersche Zahl e).- Trigonometrische Funktionen und die Kreiszahl p.- Integralrechnung 16. Differenzial- und Integralrechnung über den komplexen Zahlen Â.- Konstruktionen mit Zirkel und Lineal in der komplexen Zahlenebene.-8 Die transzendenten Zahlen I (Liouville'sche Zahlen).-9 Die transzendenten Zahlen II (Transzendenz von e).-20 Die transzendenten Zahlen III (Transzendenz von p).